A Furcsa Hurok

D. R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Az egybefont gondolatok birodalma.Bach
…a Zenei áldozat Bach egyik legnagyobb ellenpontozási eredménye. Maga is egy nagy szellemi fúga, melyben sok gondolat és forma van összeszőve, és amelyben gyakoriak a játékos kétértelmíségek és a finom célzások…Van a Zenei áldozatban egy különösen szokatlan kánon. Egyszeríen a „Canon per Tonos” feliratot viseli, és három szólama van. A legfelső szólam a Királyi téma egy változatát szólaltatja meg, míg az alatta lévő két szólam egy másik témán alapuló, kánon formájú harmóniát szolgáltat. A pár alsó tagja c-mollban szólaltatja meg a témát (ez az egész kánon hangneme), a pár felső tagja pedig ugyanezt a témát játssza, öt hanggal magasabban. Ez a kánon abban különbözik a többitől, hogy amikor befejeződik – vagy inkább amikor befejeződni látszik – akkor már nem c-moll, hanem d-moll a hangneme. Bachnak valahogy sikerült a hallgató orra előtt modulálnia (megváltoztatnia) a hangnemet.

A kánon pedig úgy épül fel, hogy ez a „befejezés” ismét simán kapcsolódik a kánon kezdetéhez; így az eljárás megismételhető, és az E hangra térünk vissza, hogy aztán ismét beléphessünk az elején. Ezek az egymás utáni modulációk egyre magasabb hangtartományba vezetik a fület, így azt várnánk, hogy néhány ismétlés után reménytelenül távol kerülünk az eredeti hangnemtől. Mégis, csodás módon pontosan hat ilyen moduláció után éppen az eredeti c-moll hangnembe jutunk vissza! Az összes szólam pontosan egy oktávval lesz magasabb, mint kezdetben, és itt a darab zeneileg elfogadható módon abbahagyható. Azt hihetnénk, hogy ez volt Bach szándéka; de Bach kétségtelenül azt is felismerte, hogy ez a folyamat a végtelenségig folytatható, és talán ezért írta a margóra: „Ahogy a moduláció emelkedik, úgy növekedjék a király dicsősége”.

A kánon potenciálisan végtelen jellegét az „örökké emelkedő kánon” elnevezéssel szeretném hangsúlyozni. Ez a Bach-kánon az első példa a Furcsa Hurok fogalmára. A Furcsa Hurok-jelenség akkor fordul elő, ha egy hierarchikus rendszer szintjei között felfelé (vagy lefelé) mozogva váratlanul az eredeti szinten találjuk magunkat. (Itt a rendszer a zenei hangok rendszere.) A továbbiakban a Furcsa Hurkok témája újra meg újra felbukkan. Néha rejtetten, néha nyíltan, néha a színével, néha a visszájával, vagy megfordítva ….

Escher
Számomra a Furcsa Hurkok fogalmának legszebb és legerőteljesebb képi megvalósítása az 1898 és 1971 között élt holland grafikusmívész, M. C. Escher míveiben található meg. Escher alkotta minden idők szellemileg legösztönzőbb rajzait. Sok rajzának eredete a paradoxon, az illúzió vagy a kettős jelentés. Az Escher-rajzok első rajongói matematikusok voltak, ami érthető, mert a rajzok gyakran a szimmetria vagy a mintázat matematikai fogalmain alapultak. De egy tipikus Escher-rajzban több van a szimmetriánál vagy a mintánál; gyakran egy mívészi formában megvalósított alapgondolat található meg bennük. És különösen a Furcsa Hurkok fordulnak elő igen gyakran Escher míveiben. Tekintsük meg pl. a Vízesés címí litográfiát, és hasonlítsuk össze a hatlépcsős, vég nélküli hurkot azzal a hatlépéses, vég nélkül emelkedő hurokkal, amely a Canon per Tonosban található. A látásmód hasonlósága figyelemre méltó.

Bach és Escher ugyanazt a témát játssza két különböző „hangnemben”: a zenében és a képzőmívészetben. Escher sokféleképp valósította meg a Furcsa Hurkokat, ezek a hurok szorossága szerint csoportosíthatók. A leglazább változat az Emelkedés és ereszkedés címí litográfia, amelyen szerzetesek menetelnek örökös hurokban, mivel a kiindulóponthoz való visszatérés nagyon sok lépésből áll. A Vízesés szorosabb hurkot tartalmaz, amelynek – mint már láttuk – csak hat különálló lépése van. Azt gondolhatnánk, hogy van némi bizonytalanság a „lépés” fogalmában – pl. nem tekinthetnénk-e az Emelkedés és ereszkedést négyszintesnek (lépcsősorok) éppen olyan könnyedén, mint negyvenöt szintesnek (lépcsőfokok)? Való igaz, hogy a szintek megszámlálása nemcsak az Escher-képek, hanem a hierarchikus, sokszintí rendszerek esetében is bizonytalansággal jár. Később jobban meg fogjuk érteni ezt a bizonytalanságot. De most még ne foglalkozzunk ezzel! Ahogy szorosabbá tesszük a hurkot, a nevezetes Rajzoló kezek címí míhöz jutunk, amelyen a két kéz mindegyike a másikat rajzolja: íme egy kétlépéses Furcsa Hurok.

És végül a legszorosabb Furcsa Hurok a Képtár címí képen valósul meg: egy kép képe, amely önmagát tartalmazza. Vagy egy önmagát tartalmazó képtár képe? Vagy egy önmagát tartalmazó város képe? Vagy egy önmagát tartalmazó fiatalemberé? (Mellesleg, az Emelkedés és ereszkedés, valamint a Vízesés alapját alkotó érzékcsalódást nem Escher, hanem Roger Penrose brit matematikus fedezte fel 1958-ban. A Furcsa Hurkok témája azonban már 1948-ban jelen volt Escher míveiben, ekkor készítette a Rajzoló kezek címí mívét. A Képtár 1956-ból származik.)A Furcsa Hurkok fogalmában a végtelen fogalma rejtőzik, mivel mi más egy hurok, mint egy vég nélküli folyamat véges módon történő ábrázolása? A végtelen pedig Escher sok más rajzán is nagy szerepet játszik. Egy téma másolatai gyakran egymáshoz vannak illesztve, ily módon a Bach-kánonok képi megfelelőit alkotják.

Számos ilyen minta látható a Metamorfózis címí híres Escher-nyomaton. Egy kicsit olyan ez a mí, mint az „örökké emelkedő kánon”: egyre messzebb és messzebb vándorol a kezdőponttól, majd hirtelen visszaérkezik. A Metamorfózis mintázataiban és más képeken már ott van a végtelen sugallata. De Escher más rajzain a végtelennek még merészebb képei mutatkoznak. Néhány rajzán a téma a valóság különböző szintjein jelenik meg. A rajz egyik szintjéről például világosan látszik, hogy a képzelethez tartozik, a másik szint valóságosnak tínik. Lehetséges, hogy a szintek közül explicit módon csak ez a kettő van ábrázolva. De ennek a két szintnek a puszta jelenléte arra készteti a szemlélőt, hogy önmagát egy másik szinthez tartozónak tekintse; és ennek a lépésnek a megtételekor a szemlélő óhatatlanul Escher szintláncolatának fogságába kerül, mivel bármelyik szintre igaz, hogy mindig van egy felette levő, nagyobb realitású szint, és hasonlóan mindig van egy alatta levő, ennél a szintnél képzeletbelibb szint. Ez már önmagában is megtévesztő lehet. Mi történik azonban akkor, ha a szintek lánca nem lineáris, hanem hurkot alkot? Mi akkor a valóság és mi a képzelet? Escher géniusza abban állt, hogy képes volt nemcsak kigondolni, hanem ténylegesen meg is jeleníteni a félig reális, félig mesterséges világok tucatjait, Furcsa Hurkokkal teli világokat, melyek valósággal hívogatják a nézőt, hogy belépjen.

Gödel
Az eddigi példákban szereplő, Bach és Escher által létrehozott Furcsa Hurkokban ellentmondás van a véges és a végtelen között, emiatt erősen paradox érzést keltenek. Érezzük, hogy valami matematikai dologról van szó. És valóban, századunkban a Furcsa Hurkok matematikai megfelelőit is felfedezték, ennek pedig hatalmas visszahatásai voltak. Hasonlóan ahhoz, ahogy a bachi és escheri hurkok nagyon egyszerí és ősi gondolatoknak látszanak – zenei skála, lépcső – K. Gödel felfedezése, amely a matematikai rendszerekben lévő Furcsa Hurkokra vonatkozik, szintén egyszerő és ősi gondolatokból ered. Gödel felfedezése a legpőrébb formájában nem más, mint egy ősi filozófiai paradoxon matematikai fogalmakká való átalakítása.

A paradoxon az ún. Epimenidész-paradoxon vagy hazugságparadoxon. Epimenidész Krétán élt, és volt egy halhatatlan mondata: „minden krétai hazudik”. A mondat élesebb változata egyszeríen az, hogy „hazudok” vagy „ez a mondat hamis”. Amikor az Epimenidész-paradoxonról beszélek, ez utóbbi változatot értem alatta. Ez egy olyan mondat, amely durván megsérti azt a feltételezést, hogy a mondatok igaz vagy hamis voltuk szerint osztályozhatók, mert ha kísérletképpen feltesszük róla, hogy igaz, akkor azonnal visszalő, és elhiteti velünk, hogy hamis. Ha azonban úgy döntünk, hogy hamis, akkor hasonlóan visszalő, emiatt vissza kell térnünk ahhoz, hogy igaz. Tessék kipróbálni!

Az Epimenidész-paradoxon Escher Képtárához hasonlóan egy egylépéses Furcsa Hurok. De mi köze ennek a matematikához? Ezt fedezte fel Gödel. Gödel gondolata az volt, hogy a matematikai következtetés vizsgálatára magát a matematikai következtetést használja. A „befelé tekintő” matematika gondolata rendkívül hatékonynak bizonyult, és Gödel talán az egyik legszebb következményét fedezte fel: a Gödel-féle Nem-teljességi tételt. Hogy mit mond a tétel, és hogyan lehet bebizonyítani, az két különböző dolog (…) tételt egy gyöngyszemhez lehet hasonlítani, a bizonyítás módját pedig egy kagylóhoz. A gyöngy a csillogása és az egyszerísége miatt becses, a kagyló viszont egy bonyolult élőlény, amelynek a belsejében megszületik ez a csodálatosan egyszerí ékszer.

Gödel tétele A Principia Matematica és a hozzá hasonló rendszerek formálisan eldönthetetlen állításairól I. címí 1931-es értekezés VI. tételeként jelent meg. Az mondta ki, hogy:

Minden w következetes k rekurzív osztályba tartozó formulához tartozik egy olyan r rekurzív osztály, amelyben sem v Gen r, sem Neg(v Gen r) nem tartozik Flg(k)-hoz (ahol v az r szabad változója).

Eredetileg ezt németül fogalmazták, és talán úgy érezzük, hogy akár németül is maradhatott volna. Ezért itt van a tétel egy szokásosabb átírásban:

A számelmélet összes következetes axiomatikus megfogalmazása tartalmaz eldönthetetlen állításokat.

Ez a gyöngyszem. Ebben a gyöngyszemben nehéz észrevenni a Furcsa Hurkot. Ez azért van így, mert a Furcsa Hurok a kagylóban – a bizonyításban – van eltemetve. Gödel Nemteljességi Tételének bizonyítása egy önmagára hivatkozó matematikai kifejezés felírásán alapul, hasonlóan az Epimenidész-paradoxonhoz, amely a nyelv önmagára hivatkozó állítása. De míg a nyelvben nagyon egyszeríen lehet beszélni magáról a nyelvről, addig egyáltalán nem ilyen egyszerí belátni, hogy hogyan szólhat egy számokról szóló kifejezés önmagáról. Valóban zseni kellett már pusztán az önmagukra hivatkozó állítások gondolatának és a számelméletnek az összekapcsolásához is. Amint Gödel rájött, hogy létrehozható ilyen állítás, túl volt a legnagyobb akadályon.  Az állítás tényleges megalkotása ennek a csodálatos ötletszikrának a kidolgozása volt.

(…) Először is teljesen tisztázni kell, hogy mi a probléma. A matematikai állítások – összpontosítsunk csak a számelméleti állításokra – az egész számok tulajdonságairól szólnak. Sem az egész számok, sem a tulajdonságaik nem állítások. Egy számelméleti állítás nem egy számelméleti állításról szól, hanem egyszeríen csak maga az állítás. Ez itt a probléma, de Gödel megértette, hogy többről van szó, mint ahogy első ránézésre látszik. Gödel átlátta, hogy egy számelméleti állítás csak akkor szólhat egy számelméleti állításról (akár önmagáról is), ha az állítások helyett valamilyen módon számok állnak. Más szóval a gödeli szerkezet szívében a kód gondolata van. A Gödel-kódban, melyet általában Gödel-számozásnak neveznek, a szimbólumok  és a szimbólumsorozatok helyett számok állnak. Ily módon a speciális szimbólumokból álló számelméleti tételek mindegyike egy Gödel-számot kap, ami a telefonszámhoz és a rendszámtáblához hasonlóan lehetővé teszi a kifejezésre való hivatkozást.

A kódolási trükk révén azonban a számelméleti állítások két különböző szinten értelmezhetők: számelméleti állításokként, valamint számelméleti állításokról tett állításokként. A kódolási séma feltalálása után Gödelnek részletesen ki kellett dolgoznia, hogy hogyan vihető át az Epimenidész-paradoxon a számelméleti formalizmusba. Az Epimenidész-paradoxon végső átültetése nála nem úgy szólt, hogy „ez a számelméleti állítás hamis”, hanem inkább úgy, hogy „ez a számelméleti állítás nem bizonyítható”. Ez sok zavart okozhat, mert a bizonyítás fogalma eléggé bizonytalan. Ami azt illeti, Gödel munkája is része volt azoknak a hosszú ideje tartó kísérleteknek, amelyekkel a matematikusok tisztázni próbálták maguknak, hogy mi a bizonyítás.

Azt a fontos dolgot kell észben tartanunk, hogy a bizonyítások állítások rögzített rendszerén belül történő levezetések. Gödel míve esetén a Principia Matematica (P. M.) rendszere volt a számelméleti következtetések azon rögzített rendszere, amelyre a bizonyítás szó vonatkozott. A P. M. Bertrand Russel és Alfred North Whitehead hatalmas míve volt, amelyet 1910 és 1915 között adtak ki. Ezért a G Gödel-mondat magyarul pontosabban így írható fel: Ennek a számelméleti állításnak a Principia Matematica rendszerében nincs bizonyítása. Mellesleg a Gödel-mondat éppúgy nem azonos a Gödel-tétellel, mint ahogyan az Epimenidész-mondat sem azonos azzal a megfigyeléssel, hogy „az Epimenidész-mondat paradoxon”. Most már megfogalmazhatjuk, hogy a G felfedezésének mi a hatása. Míg az Epimenidész-mondat paradoxont hoz létre, mivel se nem igaz, se nem hamis, addig a G Gödel-mondat bizonyíthatatlan (a P. M.-n belül), de igaz.

A nagy következmény? A Principia Matematica rendszere „nem teljes” – vannak olyan számelméleti állítások, amelyek igazak, de a P. M. bizonyítási módszerei a levezetéshez túl gyengék.

De a támadásnak a Principia Matematica csupán az első áldozata volt, nem az utolsó! Beszédesen árulkodik erről a Gödel értekezésének címében lévő „és a hozzá hasonló rendszerek” kifejezés, mert ha Gödel míve csupán csak Russel és Whitehead mívének hiányosságára mutatott volna rá, akkor ez másokat arra csábíthatott volna, hogy javítsanak a P. M.-n, és kifogjanak a Gödel-tételen. De ez nem volt lehetséges: Gödel bizonyítása bármelyik olyan axiómarendszerre érvényes volt, amellyel a Russel és Whitehead által kitízött célok elérhetők lettek volna. S a különböző rendszerek esetén ugyanaz volt az alapmódszer, amely megtette a dolgát.

Röviden, Gödel megmutatta, hogy a bizonyítás az igazságnál gyengébb fogalom, függetlenül a használt axiómarendszertől.

A Gödel-tétel azért volt felvillanyozó hatással a matematika alapjai iránt érdeklődő logikatudósok, matematikusok és filozófusok számára, mert megmutatta, hogy nincs olyan rendszer, legyen az bármilyen bonyolult, amellyel ábrázolni lehetne az egész számok bonyolultságát: 0, 1, 2, 3, … Lehet, hogy a mai olvasókat ez nem lepi meg annyira, mint az 1931-es olvasókat, mivel közben kultúránk magába olvasztotta a Gödel-tétel, a relativitás és a kvantummechanika forradalmi alapeszméit, és ezek filozófiailag zavaró üzenetei eljutottak a köztudatba, még ha jó néhány átalakításon (többnyire torzításon) keresztül tompítva is. Napjainkban általában korlátozott eredményeket várnak – de 1931-ben a Gödel-tétel olyan volt, mint a derült égből a villámcsapás (…)

Hilbert programja
A Principia Matematicát széles körben ismerték és csodálták, de senki sem volt biztos benne, hogy a Russel és Whitehead által körvonalazott módszerek valóban az egész matematikát felölelik-e vagy sem, és hogy a megadott módszerek mentesek-e az önellentmondástól? Vajon biztosak lehetünk-e abban, hogy Russel és Whitehead módszereivel egy matematikus sohasem tud ellentmondó eredményeket levezetni? David Hilbertet, a kiváló német matematikust (és metamatematikust) különösen zavarta ez a kérdés, ezért felhívta a világ matematikus- (és metamatematikus-) közösségét: adjanak egzakt bizonyítást arra – esetleg éppen a Russel és Whitehead által körvonalazott módszerekkel –, hogy a Principia Matematicában definiált rendszer egyszerre következetes (ellentmondásmentes) és teljes (vagyis a számelmélet összes igaz állítása levezethető a P. M.-ban vázolt kereteken belül).

Ez nagy feladat és bírálható is körkörössége miatt: hogyan látható be a következtetési módszereinkről, hogy helyesek, ha közben ugyanezekre a következtetési módszerekre támaszkodunk? Ez ahhoz hasonlít, mintha a saját hajunknál fogva akarnánk felemelni önmagunkat. (&Uacutegy látszik, nem tudunk megszabadulni ezektől a Furcsa Hurkoktól!) Hilbert természetesen tökéletesen tisztában volt ezzel a dilemmával, de remélte, hogy a következetesség és a teljesség bizonyítására olyan bizonyítást találnak majd, amely csak a véges következtetési módoktól függ. A véges következtetési módok a matematikusok által elfogadott következtetési módszerek egy kis csoportját alkották. Ily módon Hilbert azt remélte, hogy a matematikusok részben fel tudják majd emelni magukat a saját hajuknál fogva: az összes matematikai módszer helyességének bizonyítása megoldható egy kisebb módszercsoporttal. Ez eléggé öncélúan hangzik, évszázadunk első harminc évében azonban a világ számos kiváló matematikusa ezen törte a fejét.

A harmincegyedik évben azonban megjelent Gödel értekezése, amely bizonyos fokig teljesen romba döntötte Hilbert programját. Ez a tanulmány nemcsak azt tárta föl, hogy a Russel és Whitehead által javasolt axiómarendszerben kijavíthatatlan „lyukak” vannak, hanem általánosabban azt is, hogy semmilyen axiómarendszerrel sem lehet az összes számelméleti igazságot előállítani, csak akkor, ha a rendszer nem következetes! Végül megmutatta azt is, hogy a P. M.-ban szereplő rendszer következetességének bizonyítása hiú ábránd: ha a P. M.-n belüli módszerekkel lehetne találni ilyen bizonyítást, akkor – és ez Gödel munkájának egyik legrejtelmesebb következménye – maga a P. M. lenne következetlen!

Az egészben az volt a legironikusabb, hogy a Gödel-féle Nemteljességi Tétel bizonyítása az Epimenidész-paradoxont vitte át a Principia Matematica szívébe, pedig azt olyan bástyának hitték, amely sebezhetetlen a Furcsa Hurkok támadásával szemben! Bár a Gödel-féle Furcsa Hurok nem tette tönkre a Principia Matematicát, ez a mí sokkal érdektelenebb lett a matematikusok számára, mivel Gödel megmutatta, hogy Russel és Whitehead eredeti céljai illuzórikusak voltak (…)

• A mesterséges intelligencia…
  (…) Az 1950-es évek elején úgy tínt, hogy a gépi intelligencia kőhajításnyi távolságra van: és mégis, mindegyik akadály leküzdésekor mindig felbukkant a valódi gondolkodó gép létrehozásának valamilyen újabb akadálya. Vajon volt-e valami mélyebb oka, hogy ez a cél rejtélyes módon meghiúsult? Senki sem tudja, hogy hol a határvonal az intelligens és a nem intelligens viselkedés között, mi több, azt állítani, hogy létezik éles határvonal, valószíníleg butaság. De az biztos, hogy az intelligencia alapvető tényezői:
  • a helyzetekre adott rugalmas válasz;
  • a kedvező körülmények kihasználása;
  • a kétértelmí vagy ellentmondó üzenetek értelmezése;
  • egy adott helyzetben az elemek egymáshoz viszonyított fontosságának felismerése;
  • hasonlóságok keresése a helyzeteket elválasztó különbségek ellenére;
  • különbségek tétele a helyzeteket összekapcsoló hasonlóságok ellenére;
  • a régi gondolatokból új összetétellel új gondolatok előállítása;új gondolatok alkotása.
  Itt van egy látszólagos paradoxon. A számítógépek éppen a természetükből adódóan a legrugalmatlanabb, legbárgyúbb, szigorúan a szabályoknak engedelmeskedő lények. Bár gyorsak, ennek ellenére az öntudatlanság mintapéldái. Hogyan lehet akkor beléjük programozni az intelligens viselkedést? Vajon nem ez-e a legégbekiáltóbb ellentmondás?

  (…) Ez az, amivel a Mesterséges Intelligencia-kutatás foglalkozik. Ennek a kutatásnak az a furcsasága, hogy a kutatók szigorú formalizmussal bonyolult szabályhalmazokat próbálnak összeállítani, amelyek azt közlik a rugalmatlan gépekkel, hogy milyen módon lehetnek rugalmasak. Miféle szabályokkal lehetséges azonban megragadni mindazt, amit intelligens viselkedésnek gondolunk? Minden bizonnyal sokfajta, különböző szintekhez tartozó szabálynak kell lennie. Kell lenniük puszta szabályoknak. Kell lenniük a puszta szabályokat módosító metaszabályoknak; azután a metaszabályokat módosító metametaszabályoknak, és így tovább. Az intelligencia sokoldalúsága a különböző szabályok és szabályszintek hatalmas számából ered. A sok szintre és rengeteg szabályra azért van szükség, mert egy élőlény az életben milliónyi különböző típusú helyzettel kerül szembe.

  Bizonyos helyzetekben vannak sztereotip (megszokott) válaszok, melyekhez a puszta szabályok elegendők. Bizonyos helyzetek a sztereotip helyzetek keverékei – így ezekhez olyan szabályok kellenek, melyekkel eldönthető, hogy melyik puszta szabályt kell alkalmazni. Bizonyos helyzeteket nem lehet osztályozni – emiatt létezniük kell olyan szabályoknak, melyekkel új szabályok alkothatók… és így tovább. Az intelligencia magjában kétségkívül az önmagukat közvetve vagy közvetlenül megváltoztató szabályok révén létrejövő Furcsa Hurkok vannak. Néha az elménket annyira bonyolultnak érezzük, hogy hajlunk arra: az intelligencia megértésének problémája nem megoldható – vagyis tévedünk, ha azt hisszük, hogy egy élőlény viselkedését szabályok határozzák meg, még ha a szabályt a fent leírt többszintí értelemben is vesszük.