Tudósközelben: Domokos Gábor, építészmérnök, akadémikus

IPM: Itt az irodádban a már megszokott számítógép és papírhalmok mellett egy polcra szerelt csatolt inga, különböző geometriai testek, átlátszó míanyag dobozokban osztályozott kavicsok látványa fogadott. Gondolom, nem véletlen ez a sok tárgy körülötted, elméleti vagy gyakorlati beállítottságúnak vallod magad?

Domokos Gábor: Az ilyen tipizálásnak nincs túl sok értelme. Legszívesebben úgy fogalmaznék, hogy olyan elméleti ember vagyok, aki az elméletet mindig a gyakorlat irányából vizsgálja. Számomra azok a problémák vonzók, amelyekben a matematikai tudást valamilyen kézzelfogható, vizuálisan is elképzelhető dolog, például egy konstrukció megértésére használjuk. Ettől ez persze alapkutatás, tehát nem arról van szó, hogy amivel foglalkozom, annak gyakorlati hasznát a közeljövőben megtaláljuk.

IPM: Akkor fogalmazhatunk úgy, hogy kiváló matematikus vagy a mérnökök között, s kiváló mérnök a matematikusok között?

D. G: Bár ez a megjelölés kicsit kétélí, alapvetően elfogadom. Vitathatatlan, hogy sikereimet nagymértékben annak köszönhetem, hogy érdekes, esztétikus matematikát tudok alkalmazni gyakorlati problémák vizsgálatában. Neumann Jánossal értek egyet, aki azt mondta: a matematikát hosszabb távon az alkalmazások tartják életben.

IPM: Honnan az indíttatás, a matematika szeretete?

D. G: Az akkor nagyon színvonalas Móricz Zsigmond Gimnázium matematika tagozatára jártam, melyben matematikatanárom, Lágler Károlyné és az osztálytársaim örökké matematikán agyaló csoportja meglehetősen inspiráló hatást gyakorolt rám. Mindig nagyon szerettem rajzolni, érdekeltek a konstrukciók, s így a BME Építész Karán szereztem diplomát, kisebb megszakításokkal máig ott dolgozom, de kapcsolatom a matematikával megmaradt.

Egyébként az iskolának, egy-egy jó tanárnak rendkívül fontos szerepe lehet abban, hogy az ember mivé válik, hogy egy tehetség ne kallódjon el. Az én matematikatanárom zseniálisan értett ahhoz, hogy mindnyájunkat úgy tanítson, ahogy az leginkább ránk legyen szabva. Eközben nagyon igényes és szigorú volt, s mivel a szigort mindig következetesen gyakorolta, ezt elfogadtuk tőle.

IPM: Oktatói munkádban fel tudod használni diákkori tapasztalataidat?

D. G: Ilyen direkt kapcsolatot nem vonnék az én oktatómunkám és tanáraim okítása között, ugyanakkor az oktatók felelőssége nem csak a középiskolában, hanem az egyetemen is óriási. Annak nem sok értelmét látom, hogy önmagukban álló elméleti ismereteket próbáljunk tanítványaink fejébe tölteni. Érdeklődést akkor várhatunk tőlük, ha mindazt, amit meg akarunk mutatni nekik, valamilyen érdekes, konkrét problémához kötjük.

Kevesen vannak olyanok, akiket egy elméleti konstrukció belső esztétikája közvetlenül ragad meg, ugyanakkor, ha egy izgalmas kérdés vagy probléma megoldása a feladat – tehát a tudást nem mint öncélt használjuk –, a helyzet egészen más lehet. A kíváncsiság komoly hajtóerő! Hát fel kell kelteni.

A közoktatás számára is ez a legfontosabb üzenetem (már ha egyáltalán van jogom üzeneteket küldözgetni). A tanítás mindig problémákból induljon ki, próbáljuk folyamatos mozgásban tartani tanítványaink agytekervényeit, irányítsuk őket, de ne uraljuk, adjunk nekik kellő önállóságot, s vegyük őket komolyan, s akkor csodás dolgok születhetnek.

IPM: Van ilyen irányú személyes tapasztalatod?

D. G: A legnyilvánvalóbb ez a benyomás a most 27 éves Várkonyi Péterrel végzett közös munkánk során alakult ki bennem. Vele hoztuk létre a gömböcöt, mely komoly ismertséget eredményezett mindkettőnk számára nemcsak a tudományos világban, hanem a médiában is.

Ami természetesen jóleső érzés, bár számomra nem olyan fontos. De talán a fiatalon megszerzett hazai hírnév kellő súllyal eshet a latba Péter döntésében, amikor azt kell mérlegelnie, hogy Magyarországon marad, vagy külföldre megy dolgozni. Mert természetesen fiatal kora ellenére többen is kapkodnának utána külföldön.

IPM: Mit tudhatunk erről a csodálatos gömböcről, azon túl, hogy a Mathematical Intelligencer címí, fajsúlyos matematikai folyóirat címlapján megjelent a képe, majd 30 évvel a Rubik-kocka után, ismét feltínő dicsőséget szerzett Magyarországnak.

D. G: A matematikusok számos izgalmas és nyitott kérdést, megoldatlan problémát tartanak számon. Ezek közül volt, illetve van néhány, amely könnyen megérthető, könnyen megfogalmazható, ezért látszólag még a nem matematikusok is hozzá tudnak szólni. Ezeknek a problémáknak a sorsát nagyobb érdeklődéssel figyeli a laikus világ. Ilyen probléma volt a Fermat-sejtés, melynek hatalmas irodalma van, különösen a probléma megoldása óta, vagy a Goldbach-sejtés, amely majdnem ugyanennyire ismert.

Talán a fentieket tarthatjuk a két legismertebb problémának. De mint mondtam, vannak továbbiak is. Bár jelentősége nem mérhető az említett két példához, itt van mindjárt az a probléma, melynek megoldását nekünk sikerült megadni. Én majd tíz évig gondolkoztam rajta kevés eredménnyel, egészen addig, amíg Várkonyi Péter ez a hihetetlenül tehetséges „exfazekasos” fel nem tínt.

IPM: Mi ennek a lényege?

D. G: Ehhez ismernünk kell a stabil és labilis egyensúlyi helyzet fogalmát. Egy test egyensúlyi helyzete akkor stabil, ha egy kicsit kitérítjük bármilyen irányba, miután magára hagytuk, visszatér a kiindulási helyzetbe. A labilis egyensúlyi helyzetbe viszont a test a tetszőleges irányú kitérítés esetén egyszer sem tér vissza a kiinduló egyensúlyi helyzetébe. Egy golyó stabil egyensúlyi helyzetben van egy gödör alján, míg labilis az egyensúlyi helyzete a fóka orrán egyensúlyozott labdának.

IPM: Ezek szerint a keljfeljancsi stabil egyensúlyi helyzetben van, amikor visszabillen mindig kiinduló helyzetébe?

D. G: Igen, pontosan. Ugyanakkor a mi tételünk olyan testekre vonatkozik, melyeknek a tömegeloszlása homogén, azaz állandó síríségí anyag építi fel. Ez nem érvényes a keljfeljancsira. A tétel pedig a következő: Létezik olyan homogén tömegeloszlású, konvex test, melynek pontosan egy stabil és egy labilis egyensúlyi helyzete van, de semmilyen más helyzetben nem lesz egyensúlyban.

Az ilyen testet két helyzetében tudjuk egy tökéletesen vízszintes lapon megállítani. Az egyik – a stabil egyensúlyi – helyzetéből kicsit kitérítve visszatér a test, a másik – a labilis – egyensúlyi helyzetében pedig csak elvileg állítható meg, mert a legkisebb eltérés az egyensúlyi helyzettől elég ahhoz, hogy a test elbillenjen, s visszatérjen a stabil egyensúlyi helyzetbe.

IPM: Nehéz olyan testet előállítani, melynek csak egy stabil egyensúlyi helyzete van?

D. G: Nem könnyí, de korántsem lehetetlen. Nem is az a legizgalmasabb a gömböcnél, hogy egy stabil egyensúlyi helyzete van, hanem hogy labilis is csak egy van. Azaz csak két egyensúlyi helyzetről beszélhetünk. Ez azért meglepő, mert sokan úgy vélték, hogy minden testnek legalább négy egyensúlyi helyzete van. Ezt a tételt síklapokra be is bizonyítottuk, azaz minden homogén, konvex síklapból kivágott alakzatnak legalább két stabil és két labilis egyensúlyi helyzete van.

De vajon ugyanez a helyzet a térbeli testek esetében is? A problémát tovább físzerezte még egy érdekesség. Ennek megértéséhez tudnunk kell, hogy a térbeli testek esetében létezik egy harmadik típusú egyensúlyi helyzet is, a nyeregszerí egyensúly. Az elnevezés magáért beszél.

A nyeregből kimozdulva a hegygerincek valamelyikének irányába, könnyen visszacsúszhatunk a kiindulási helyre, de ha a völgyek felé indulunk el, akkor lecsúszhatunk végleg a nyeregből. Ez az egyensúly tehát a labilis és stabil sajátos ötvözete. Egy tétel kimondja, hogy a labilis és stabil egyensúlyok összegéből levonva a nyeregszerí egyensúlyok számát, mindig kettőt kapunk eredményül.

Tehát állításunk, hogy egy testnek csak egy stabil és egy labilis egyensúlyi helyzete van, egyenértékí azzal, hogy nincs nyeregszerí egyensúlya. S ez a kijelentés is meglehetősen szokatlanul hangzott!

IPM: Milyen út vezetett a probléma megoldásához?

D. G: Magához a tételhez kétféle módon lehetett közelíteni. Voltak olyanok, akik abba öltek rengeteg energiát, hogy matematikai úton bebizonyítsák, a keresett test nem létezik, mások pedig arra fordították erejüket, hogy a megadott tulajdonsággal rendelkező testet megtalálják. Én mindkét úttal próbálkoztam, de jó ideig eredmény nélkül.

IPM: Mi hozott áttörést?

D. G: Amikor Várkonyi Pétert bevezettem a problémába, s megmutattam eddigi próbálkozásaimat, rögtön elragadta a feladat izgalma, s nagy elánnal vetette bele magát a megoldás keresésébe. Ami történt, ahhoz hasonlítanám, mint amikor a tapasztalt sziklamászó az eddig le nem győzött sziklafal lábánál bemutatja az óvatos, de remélhetőleg a cél felé vezető útvonalterveket fiatal társának, aki pedig korából fakadó heves elszántsággal azt javasolja: esésvonalban induljanak fel a sziklára, úgy, ahogy a tapasztalt hegymászónak eszébe sem jutna.

S mit tesz isten, megtalálják az utat esésvonalban, s így jutnak fel a csúcsra. Mindez lefordítva a mi munkánkra azt jelentette, hogy Péter megoldotta a feladatot, matematikai eszközökkel megtervezett egy testet, mely a feltételeknek megfelelt, csak egy baj volt vele, a gömbtől csak egy százezred részben tért el. &Iacutegy esélyünk se volt arra, hogy a testet fizikai valójában előállítsuk.

IPM: De ez még nem az a gömböc volt, melyet itt az asztalon is látunk.

D. G: Nem, de mindez a tétel szempontjából másodlagosnak tínt. Bár ha itt megállunk, a gömböc hihetetlen karrierje talán el sem indul. Mintha a történet következő fejezete éppen arról szólna, amivel a beszélgetésünket kezdtük, az elmélet és gyakorlat viszonyáról.

Péter számára a probléma lezárult, már csak az volt a kérdés, hogy a megtalált test valóban rendelkezik a megadott tulajdonságokkal, s nem csúszott hiba a számításokba. Néhány nálunk okosabb matematikus nem keveset rágódott ezen a kérdésen, majd fél év múlva úgy döntöttek, az eredmény helyes, a keresett test megfelel a feltételeknek, s ez még akkor is így van, ha elkészíteni nem lehet.

Ekkor azt javasoltam Péternek, ne hagyjuk itt abba a munkát, találjunk olyan testet, amely jobban eltér a gömbtől. Erőfeszítéseinket siker koronázta, s amit most a kezedben tartasz, az már a valódi gömböc.

IPM: De itt van mellette egy másik, mely látszatra teljesen ugyanolyan, mégsem veszi fel a megfelelő egyensúlyi helyzetet.

D. G: Ezt a másikat 1 milliméterrel elméreteztük. Szerencsénkre ez később született, mint az első, a tökéletes gömböc. Ha mindez fordítva történik, talán el sem hisszük, hogy a testet el lehet készíteni.

IPM: Mi a jelentősége a gömböcnek az elmélet, illetve a gyakorlat szempontjából?

D. G: Először vizsgáljuk az elmélet kérdését. Lezártunk egy régi problémát, de ez, mint alapkutatási eredmény közvetlenül kevés hasznot hoz. A gömböc maga mindenesetre egy rendkívül egyszerí test, bár nem látszik annak. Itt az egyszeríséget matematikai értelemben gondoltam.

&Uacutegy is fogalmazhatnék, hogy a gömböc az egyensúlyok szempontjából minden testtípus őse, hiszen belőle némi ügyes csiszolgatással a további egyensúlyi helyzetekkel rendelkező testek előállíthatók. Ebben az értelemben egyfajta őssejt, minden további test kiindulása.

De van itt más is. A matematikusok kidolgoztak mérőszámokat egy test hosszúságának és laposságának mérésére. Bár ezek matematikailag nem egyszerí fogalmak, lényegében azt adják, amit várunk tőlük. Tehát a ceruza hosszú, a korong lapos. A gömb esetében a hosszúság és laposság mérőszáma is egy.

Ami meglepő, hogy ez igaz a gömböcre is, de nem igaz semmilyen más testre. A test egyszerísége első ránézésre nem nyilvánvaló, de még nem találkoztam olyan emberrel, kit e test látványa nem ragadott volna meg, s nem játszott el a gondolattal, hogy neki is jó lenne egy ilyen. Olyan ez, mintha az agyunk legmélyén ismerősként üdvözölnénk a gömböcöt. Közös munkánkat úgy foglalhatnám össze: inkább Péternek köszönhetően született meg a gömböc, s miután már megszületett, inkább nekem köszönhetően derült ki, hogy mennyire érdekes.

IPM: És mi a helyzet a gömböc gyakorlati jelentőségével?

D. G: Ami egyszerí, az a természetben megtalálható. A gömböc alakját úgy tínik, felfedezte az evolúció, s visszaköszön például a sivatagi teknősök páncéljának alakjában. Ezeknek az állatoknak az életük múlik azon, milyen könnyen tudnak talpukra állni a sivatag forró homokjában.

IPM: Mit keresnek ezek a kavicsok a míanyag dobozokban? Talán ezek is gömböcszeríek?

D. G: Szó sincs róla. Ugyanakkor a testek vizsgálata egyensúlyi állapotai szerint érdekes, távolra mutató eredményeket hozhat. Ezekben a míanyag dobozokban tengerparti kavicsok vannak, melyeket feleségemmel gyíjtöttünk és osztályoztunk egyensúlyi állapotaik szerint. Ha figyelmesebben megnézed őket, egy szabályszeríséget azonnal észrevehetsz. A sötétebb kavicsoknak több egyensúlyi helyzetük van.

Ez nem véletlen, ezek keményebb anyagúak, így sarkaik nehezebben, kevésbé koptak le, ezért szögletesebbek, s ezért több az egyensúlyi helyzetük. Érdekes, hogy a kavicsokat bármely részéről gyíjtöttük a tengerpartnak, eloszlásuk az egyes egyensúlyosztályok között nagyjából azonos volt. Mindez nyilván az adott környezet kavicskoptatási sajátosságaira jellemző, s ez feltehetőleg a hullámzás sajátosságaitól függ, melyet persze számos tényező befolyásolhat.

Mindenestre a kavicsok egyensúlyosztályok szerinti eloszlása akár valamilyen lenyomata lehet annak a környezetnek, ahol a kavicsok lekoptak. Egy régvolt tenger kavicskészletének vizsgálata ilyen módon árulkodhat az egykori körülményekről. Még sok kavicsot kell összegyíjtenünk, hogy minderről meggyőződhessünk. De van-e annál vonzóbb dolog, mint érdekes kavicsokat gyíjteni egy napfényes tengerparton?

IPM: Mitől vált ennyire népszerívé munkátok itt Magyarországon, és a nemzetközi porondon is?

D. G: Hogy milyen tudományos eredmények lesznek népszeríek, azt alapvetően a média határozza meg. Ugyanakkor nyilván vannak olyan eredmények, amelyek könnyen bemutathatók, s vannak – akár kiemelkedően fontosak is – melyek mégis nehezen érthetők, s így nem érdekesek a média számára.

A mi esetünkben nyilván sokat nyomott a latba a probléma egyszerísége, meg talán az sem közömbös, hogy ez egy olyan magyar siker, amelynek mindenki örülhet. Most, amikor az embereket folyamatosan szembefordítják egymással, jól esik egy kicsit valamiben egyetérteni. S úgy tínik, abban egyet tudunk érteni mi magyarok, hogy a gömböc jó dolog, s jó, hogy mi találtuk meg.

  • Domokos Gábor, a gömböc egyik megalkotója 1986-ban szerzett építészmérnöki diplomát a Budapesti Míszaki Egyetemen, majd 1989-ig a Magyar Tudományos Akadémia ösztöndíjasa lett. 1989-ben szerezte meg kandidátusát, majd 1996-ban lett habilitált okleveles építészmérnök. 1997-ben a Magyar Tudományos Akadémia doktora lett. 1998-tól 1999-ig a Cornell Egyetem vendégprofesszora volt az Amerikai Egyesült &Aacutellamokban. Jelenleg egyetemi tanár, a Budapesti Míszaki Egyetem Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszékének vezetője, a Magyar Tudományos Akadémia legfiatalabb tagja.