Paradoxonok - Ellentmondásos illúziók

A matematikai-logikai paradoxonok általában súlyos elméleti kérdéseket feszegetnek, amelyek hátterében olykor gondolkodásunk vagy ismereteink hiányosságai húzódnak. A vizuális paradoxonok az ellentmondásos elmekonstrukciók könnyedebb fajtái közé tartoznak, érzékelésünk viszonylagosságára, a szürreális illúzió és a tényként tapasztalt valóság közötti keskeny és bizonytalan határra világítanak rá.

Sorozatunk előző részében Zénón apóriái kapcsán felmerült a tér végtelen sok részre oszthatóságának problémája. Láttuk, hogy milyen nehézséget okozott a végtelen elgondolása a filozófiai kérdésekben nagyon igényes görögöknek. Velük ellentétben a hinduk a praktikusság okán hajlamosak voltak elfogadni a slamposabb elgondolásokat is. Szeretettel viseltettek az igen nagy számok iránt, és a 600-as években élt Brahmagupta már bátran használta a végtelen fogalmát. Ugyanúgy számolt vele, mint bármilyen számmal. Ki merte jelenteni, hogy bármely számot nullával osztva egyforma mennyiséget, végtelent kapunk, és e végtelen mennyiség nem változik akkor sem, ha akármilyen számot adunk hozzá vagy vonunk ki belőle. Az európai tudomány csak az 1400-as években kezdett barátkozni a végtelennel, de csak két évszázad után jutott el oda, hogy számolni is mert vele. A matematikusok formális eljárásokat dolgoztak ki, ami kitűnő alapot adott az integrál- és differenciálszámítás fejlődéséhez, de a filozófiai problémákat nem oldották meg.
A 20. század egyik legkülönösebb képzőművésze, a hollandiai születésű Maurits Cornelis Escher (1898–1972) maga is szívesen játszadozott a végtelennel. Grafikái közismertek a képi illúziókat kedvelők körében, előszeretettel foglalkozott a perspektívával, a tükröződésekkel és a szimmetriákkal is. Escher autodidakta módon figyelemre méltó matematikai, főként geometriai képzettségre tett szert. Rendszeres levelezést folytatott több kortárs matematikussal, így a Stanford Egyetem professzorával, Pólya Györggyel, és az oxfordi Sir Roger Penrose-zal is. Munkái általában valamilyen meghatározó matematikai elem köré épülnek, amely egy szimmetriacsoport vagy egy olyan alakzat, mint a Necker-kocka vagy a Penrose-háromszög.
Végtelen a körben
Escher 1958-ban ismerkedett meg a híres kanadai mértantudóssal, Harold Scott MacDonald Coxeterrel, akinek a Poincaré-féle körmodellről írt cikke hatására készítette el a Circle Limit című sorozatát. Coxeter maga mesél erről egy interjúban, amit a YouTube-on is megtalál az olvasó (www.youtube.com/watch?v=JkhuMvFQWz4). A Poincaré-féle körmodell a hiperbolikus síkgeometria egyik modellje. A hiperbolikus geometria tere görbült, amit elég nehéz elképzelni, még nehezebb lerajzolni, de például a Poincaré-féle körmodellel le lehet. Ez egy egység sugarú kör, amelynek belső pontjai jelképezik a hiperbolikus teret. A körlap közepe a tér közepe, a széle jelenti a hiperbolikus tér szélét, azaz a végtelent. Escher különféle alakzatokkal kísérelte meg a Poincaré-féle körmodell kicsempézését. Az itt bemutatott példán színes halak sokasága tölti ki a síkot. A síkon végtelen sok hal van, amelyek mérete valójában egyforma. Az csak a körmodell ábrázolási sajátossága, hogy a kör szélei felé egyre kisebbnek látszanak. A torzítás olyasmi, amit a bejárati ajtók kukucskálóinál tapasztalunk. Azok közel 180 fokos látószöggel képezik le a teret egy kör alakú foltra. A hiperbolikus tér egyenesei a modellben körívekként jelennek meg, az azonos színű halak fehér gerincvonalai a térben egyenesek, tehát a halak egy vonalban vannak. Középen a négy zöld és sárga hal egy négyszöget formáz. A leképezés szögtartó. Jól látszik, hogy a négyszög belső szögeinek összege kevesebb, mint 360 fok. Az oldalához kapcsolódó kék és piros halak gerince adta háromszögek szögösszege is kevesebb, mint 180 fok. Ez a hiperbolikus térben természetes. Ahogy az ember elnézi a halak végtelenbe nyúló sokaságát, amint egy véges körlapon vannak ábrázolva, mélyen átérezhető az a nehézség, amellyel Zénón küszködött a tér végtelen sok részre osztásakor.


Hozzászólások